python

數學模型(插值、擬合和微分方程)-python實現

  1. 博文同步在同名公眾號”ManTou饅頭”更新,點個贊吧,ballball u。
  2. 有問題歡迎 CSDN評論私信、歡迎公眾號私信,vx私信
  3. 程式在公眾號回覆“ManTouex5”獲取。

問題1 車輛數量估計

題目描述

交通管理部門為了掌握一座橋樑的通行情況,在橋樑的一端每隔一段不等的時間,連續記錄1min內透過橋樑的車輛數量,連續觀測一天24h的透過車輛,車輛資料如下表所示。試建立模型分析估計這一天中總共有多少車輛透過這座橋樑。
在這裡插入圖片描述

實現(關鍵程式)

def get_line(xn, yn):
        def line(x):
                index = -1
                # 找出x所在的區間
                for i in range(1, len(xn)):
                        if x <= xn[i]:
                                index = i - 1
                                break
                        else:
                                i += 1
                if index == -1:
                        return -100
                # 插值
                result = (x - xn[index + 1]) * yn[index] / float((xn[index] - xn[index + 1])) + (x - xn[index]) * yn[
                        index + 1] / float((xn[index + 1] - xn[index]))
                return result
        return line
time = [0, 2, 4, 5, 6, 7, 8,
        9, 10.5, 11.5, 12.5, 14, 16, 17,
        18, 19, 20, 21, 22, 23, 24]
num = [2, 2, 0, 2, 5, 8, 25,
        12, 5, 10, 12, 7, 9, 28,
        22, 10, 9, 11, 8, 9, 3]
# 分段線性插值函式
lin = get_line(time, num)
# time_n = np.arange(0, 24, 1/60)
time_n = np.linspace(0, 24, 24*60+1)
num_n = [lin(i) for i in time_n]
sum_num = sum(num_n)
print("估計一天透過的車輛:%d" % sum_num)

結果

在這裡插入圖片描述在這裡插入圖片描述

問題2 舊車平均價格

題目描述

某年美國舊車價格的調查資料如下表所示,其中

x

i

x_i

xi表示轎車的使用年數,

y

i

y_i

yi表示相應的平均價格。試分析用什麼形式的曲線擬合表中所給的資料,並預測使用4.5年後轎車的平均價格大致為多少?
在這裡插入圖片描述

Python 實現(關鍵程式)

from scipy.optimize import curve_fit
def func(x, a, b, c):  # 指數函式擬合
    return a * (b**(x-1)) + c

year = np.arange(1, 11, 1)
price = [2615, 1943, 1494, 1087, 765, 538, 484, 290, 226, 204]

popt, pcov = curve_fit(func, year, price)
a = popt[0]
b = popt[1]
c = popt[2]
price_fit = func(year, a, b, c)

結果

在這裡插入圖片描述
在這裡插入圖片描述

問題3 微分方程組求解

題目描述

求下列微分方程組(豎直加熱板的自然對流)的數值解

{

d

3

f

d

η

3

+

3

f

d

2

f

d

η

2

2

(

d

f

d

η

)

2

+

T

=

0

d

2

T

d

η

2

+

2.1

f

d

T

d

η

=

0

\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}^{3} f}{\mathrm{d} \eta^{3}}+3 f \frac{\mathrm{d}^{2} f}{\mathrm{d} \eta^{2}}-2\left(\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} \eta}\right)^{2}+T=0 \\ \frac{\mathrm{d}^{2} T}{\mathrm{d} \eta^{2}}+2.1 f \frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} \eta}=0\end{array}\right.

dη3d3f+3fdη2d2f2(dηdf)2+T=0dη2d2T+2.1fdηdT=0
已知當

η

=

0

\eta=0

η=0時,

f

=

0

,

d

f

d

η

=

0

,

d

2

f

d

η

2

=

0.68

,

T

=

1

,

d

T

d

η

=

0.5

f=0, \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} \eta}=0, \frac{\mathrm{d}^{2} f}{\mathrm{d} \eta^{2}}=0.68, T=1, \frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} \eta}=-0.5

f=0,dηdf=0,dη2d2f=0.68,T=1,dηdT=0.5 要求在區間[0,10]上畫出數值解的曲線。

Python實現(關鍵程式)

from scipy.integrate import solve_ivp
def natural_convection(eta, y):  # 將含有兩個未知函式的高階微分方程降階,得到由2+3個一階微分方程組成的方程組
    T1 = y[0]
    T2 = y[1]
    f1 = y[2]
    f2 = y[3]
    f3 = y[4]
    return T2, -2.1*f1*T2, f2, f3, -3*f1*f3 + 2*(f2**2)-T1

eta = np.linspace(0, 10, 1000)
eta_span = [0, 10]
init = np.array([ 1, -0.5, 0, 0, 0.68])

curve = solve_ivp(natural_convection, eta_span, init, t_eval=eta)

結果

在這裡插入圖片描述

問題4 野兔數量

題目描述

某地區野兔的數量連續9年的統計數量(單位:十萬)如下表所示.預測t = 9, 10時野兔的數量。
在這裡插入圖片描述

Python實現(關鍵程式)

import numpy as np

year = np.arange(0, 9, 1)
num = [5, 5.9945, 7.0932, 8.2744, 9.5073, 10.7555, 11.9804, 13.1465, 14.2247]

fit = np.polyfit(year, num, 1)
print("線性擬合表示式:", np.poly1d(fit))
num_fit = np.polyval(fit, year)
plt.plot(year, num, 'ro', label='原始資料')
plt.plot(year, num_fit, 'b-',label='擬合曲線')
year_later = np.arange(8, 11, 0.5)
num_fit_curve = fit[0] * year_later + fit[1]

結果

在這裡插入圖片描述

本文章已修改原文用詞符合繁體字使用者習慣使其容易閱讀

版權宣告:此處為CSDN博主「ManTou饅頭」的原創文章,依據CC 4.0 BY-SA版權協議,轉載請附上原文出處連結及本宣告。

原文連結:https://blog.csdn.net/qq_40678163/article/details/109594520